第199章 常見基本函式的導數 (第1/2頁)

第 199 章 常見基本函式的導數

經過上一次對導數定義的深入探討，學子們對於導數這一概念已經有了初步的認識和理解。新的一天，戴浩文再次登上講堂，準備為學子們揭開常見基本函式導數的神秘面紗。

戴浩文目光溫和地看著臺下的學子們，開口說道：“諸位，上回咱們初識了導數，今天咱們要更進一步，來探究一些常見基本函式的導數。”

他轉身在黑板上寫下了幾個函式：“首先，咱們來看最簡單的常數函式，比如 f(x) = c，其中 c 是一個常數。”

戴浩文停頓了一下，接著解釋道：“對於常數函式，無論 x 如何變化，函式值都保持不變。那麼當我們計算它的導數時，假設 x 有一個增量 Δx ，則函式的增量 Δy = f(x + Δx) - f(x) = c - c = 0 。所以，常數函式的導數為 0 。”

為了讓學子們更直觀地理解，他舉了個例子：“就好比你有一箱固定數量的蘋果，無論時間怎麼過去，蘋果的數量都不會變，它的變化率就是 0 。”

看到學子們露出若有所思的表情，戴浩文繼續在黑板上寫下：“接下來，咱們看冪函式 f(x) = x^n ，其中 n 為正整數。”

他放慢語速說道：“我們還是按照導數的定義來計算。Δy = (x + Δx)^n - x^n ，這需要用到二項式展開定理。經過一系列的化簡和計算，當 Δx 趨近於 0 時，我們可以得到 f'(x) = n x^(n - 1) 。”

擔心學子們被複雜的計算過程弄暈，戴浩文又以 f(x) = x^2 為例，逐步演示了計算過程。

“大家看，對於 f(x) = x^2 ，Δy = (x + Δx)^2 - x^2 = 2x Δx + (Δx)^2 ，那麼 Δy\/Δx = 2x + Δx ，當 Δx 趨近於 0 時，導數就是 2x 。”

“再比如 f(x) = x^3 ，你們按照剛才的方法自己試著推導一下。”戴浩文給學子們留出了思考的時間。

隨後，他又講到了指數函式：“咱們來看 f(x) = e^x ，這是一個非常重要且特殊的函式。”

戴浩文在黑板上寫下推導過程：“Δy = e^(x + Δx) - e^x = e^x (e^Δx - 1) ，當 Δx 趨近於 0 時， (e^Δx - 1) \/ Δx 的極限是 1 ，所以 f'(x) = e^x 。”

“這意味著 e^x 的導數還是它本身，是不是很奇妙？”戴浩文笑著說道。

接著是對數函式，戴浩文說道：“對於 f(x) = ln x ，同樣按照定義來計算，經過一番推導，我們可以得到 f'(x) = 1 \/ x 。”

為了加深學子們的印象，戴浩文又列舉了一些實際的問題，比如物體的增長速度、曲線的變化趨勢等，讓學子們運用所學的導數知識進行分析。

“假設一個細菌的數量按照指數函式增長，已知初始數量和增長時間，你們能求出某一時刻的增長速度嗎？”

學子們紛紛動筆計算，戴浩文在教室裡巡視，不時給予指導和提示。

“還有，如果一個物體的運動軌跡符合某個冪函式，你們能判斷它在某一點的速度是增加還是減少嗎？”

在戴浩文的引導下，學子們積極思考，熱烈討論，課堂氣氛十分活躍。

“大家看這道題。”戴浩文在黑板上寫下一道綜合了多種基本函式的導數問題，“我們需要先分別求出每個函式的導數，然後再根據題目條件進行計算。”