第202章 二項式定理之例項探究 (第1/2頁)

第 202 章 二項式定理之例項深究

數日已過，戴浩文於講堂之上，再論二項式定理之妙處。其身著素袍，手持戒尺，目光炯炯，環視諸生。

言曰：“前番已授汝等二項式定理之要義，今當以例項詳析，以增汝等之領悟。”

遂於黑板書一題：“今有一商人，欲購貨物，其價依二項式(a + b)^n 而定，其中 a 為原價，b 為漲幅，n 為購貨之次數。若原價為十金，漲幅為三金，購貨三次，試求其總價幾何？”

諸生見此題，皆低頭沉思，奮筆疾算。

少頃，一生起身答曰：“先生，依二項式定理展開，可得總價為 a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ，代入數值，即為 10^3 + 3x10^2x3 + 3x10x3^2 + 3^3 = 1000 + 900 + 270 + 27 = 2197 金。”

戴浩文微微頷首，曰：“善。然此僅為其一例，再觀此題。”

又書一題：“某工匠制器，其成功率為(a + b)^n ，其中 a 為成功之機率，b 為失敗之機率，n 為制器之數。若成功機率為半，制器五次，求至少成功三次之機率。”

諸生聞此，交頭接耳，討論紛紛。

一聰慧之生言道：“先生，此當用二項式定理分別算出成功三次、四次、五次之機率，再相加可得。”

戴浩文笑曰：“然也。汝等速速計算。”

諸生遂埋頭苦算，良久，得數而出。

戴浩文曰：“善哉。今再看此例。”

復書一題：“一軍出征，其勝敗之數依二項式而定。若勝之機率為七成，出戰八次，求勝五次之機率及期望之勝數。”

諸生觀此題，難度更甚，然未有退縮之意，皆全力思索。

一學子率先算出：“先生，勝五次之機率為 c(8, 5)x0.7^5x0.3^3 ，期望之勝數為 8x0.7 = 5.6 。”

戴浩文撫須贊曰：“妙極！由此可見，二項式定理於此類問題之解決，功莫大焉。”

又道：“且看此題。古之農田，稻麥之收成因年而異，其豐收之率若以二項式表之。設初年均收為百石，豐年增率為二成，災年減率為一成，歷經十載，試算總收之數。”

眾學子絞盡腦汁，推演算式。

有一生答曰：“先生，依理展開計算，可得總收約為千五百石。”

戴浩文曰：“差強人意。當更細心思之。”

繼而再出一題：“昔有巧匠造樓，其進度依二項式行之。若初始每日建十丈，速增之率為半成，工期三十日，問終成之高几何？”

諸生苦思冥想，終得答案。

戴浩文曰：“汝等可知，二項式定理於天文曆法、水利工程，亦多有用處。如測星辰之軌跡，算河水流速，皆可依此理推之。”

遂又舉例詳解，諸生如痴如醉，沉浸其中。

時近黃昏，課尚未盡。戴浩文曰：“今日所講，汝等課後當反覆思索，多加練習。明日繼續。”

諸生皆行禮告退，心內滿是對二項式定理之新悟。

次日，戴浩文復至講堂，又出數例。

“有商隊行於途，其獲利之數若以二項式計。每程利為不定，設初利為五金，或增或減，經十程，求總利之可能範圍。”

學子們紛紛動筆，各抒己見。

一生言：“先生，當考慮各種增減之組合，算其極值可得範圍。”

戴浩文點頭稱是，繼續出題。

“某城人口增減，若以二項式度之。初有人口萬餘，年增或減之率既定，經五年，算其可