第201章 二項式定理的奇妙世界 (第1/3頁)

第 201 章 二項式定理的奇妙世界

在學子們對導數的應用有了更深入的理解和熟練掌握之後，戴浩文決定開啟新的數學篇章，為他們帶來有趣且實用的知識——二項式定理。

新的一天，陽光透過窗戶灑進講堂，戴浩文精神抖擻地站在講臺上，看著充滿期待的學子們，微笑著說道：“同學們，今天咱們要一起探索一個新的數學領域——二項式定理。”

他轉身在黑板上寫下了一個簡單的二項式表示式：(a + b)^2 。

“大家先回想一下，我們之前學過的乘法運算，(a + b)^2 展開應該是什麼呢？”戴浩文問道。

學子們紛紛動筆計算，不一會兒，就有聲音回答：“是 a^2 + 2ab + b^2 。”

戴浩文點點頭，接著說：“那如果是 (a + b)^3 呢？”

這一下，學子們計算的時間稍微長了一些，但最終還是得出了正確的結果：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 。

戴浩文笑著說：“不錯不錯，那大家有沒有發現其中的規律呢？”

學子們陷入了沉思，戴浩文見狀，開始引導他們：“我們來看每一項的係數，還有 a 和 b 的指數，是不是有一定的特點？”

經過一番思考和討論，有學子舉手發言：“先生，係數好像是有一定的排列規律。”

戴浩文讚許地說：“對！這就是我們即將要學習的二項式定理的一部分。接下來，我們正式來學習二項式定理的一般形式。”

他在黑板上寫下了二項式定理的公式：(a + b)^n = c(n, 0)a^n + c(n, 1)a^(n - 1)b + c(n, 2)a^(n - 2)b^2 + … + c(n, r)a^(n - r)b^r + … + c(n, n)b^n 。

看著學子們一臉疑惑的表情，戴浩文解釋道：“這裡的 c(n, r) 叫做組合數，表示從 n 個元素中選取 r 個元素的組合數。”

為了讓學子們更好地理解組合數，戴浩文又花了一些時間講解了組合數的計算方法：c(n, r) = n! \/ (r!(n - r)!) 。

“那我們來實際計算一下，(a + b)^4 展開式是什麼。”戴浩文說道。

學子們按照剛剛所學的知識，一步一步地計算著。

“首先，n = 4 ，那麼第一項的係數 c(4, 0) 等於 1，所以第一項是 a^4 。第二項 c(4, 1) 等於 4，所以是 4a^3b 。大家繼續算下去。”戴浩文在一旁耐心地指導。

經過一番努力，學子們算出了 (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 。

戴浩文接著說：“那如果我們給定一個具體的數值，比如 (1 + 2)^3 ，大家能快速算出結果嗎？”

學子們紛紛動筆，很快就得出了答案 27 。

“很好，那我們再來看二項式定理的一些應用。”戴浩文又在黑板上寫下了一道題目：“已知 (x + 1)^5 ，求展開式中 x^3 的係數。”

學子們開始思考，有一位學子站起來說：“先生，我們先根據二項式定理展開，找到 x^3 那一項的係數。”

戴浩文鼓勵道：“非常好，那你來試試。”

這位學子走上講臺，邊寫邊說：“c(5, 3) = 10 ，所以 x^3 的係數是 10 。”

戴浩文點頭稱讚：“完全正確！那我們再來看這道題