第200章 導數的應用例項 (第1/2頁)

第 200 章 導數的應用例項

經過前面對於導數知識的系統學習，學子們已經掌握了常見函式的導數計算方法。這一天，戴浩文決定透過具體的應用題，讓學子們更加深入地理解導數的實際應用。

戴浩文站在講堂上，目光中充滿期待地看著學子們，說道：“同學們，咱們已經學習了不少導數的知識，今天咱們就來看看這些知識在實際問題中的神奇作用。”

他轉身在黑板上寫下一道題目：“假設有一物體沿著直線運動，其位移與時間的關係為 s = t3 - 6t2 + 9t + 5，求在 t = 2 時的瞬時速度。”

寫完題目，戴浩文問道：“誰能來說說這道題該怎麼入手？”

一位學子站起來回答：“先生，我們需要先求出位移函式的導數，導數就是速度函式。”

戴浩文滿意地點點頭：“不錯，那咱們一起來求一下。”

經過一番計算，得出速度函式 v = 3t2 - 12t + 9 。

戴浩文接著問：“那 t = 2 時的速度是多少呢？”

學子們紛紛動筆計算，不一會兒，就有聲音回答：“是 -3 。”

戴浩文笑著說：“很好，那咱們再來看下一道題。”

他又在黑板上寫下：“一個工廠生產某種產品，其成本函式為 c = 2x2 + 5x + 100，產量為 x 件。當產量為 10 件時，求邊際成本。”

看到學子們面露難色，戴浩文提示道：“大家想想，邊際成本是什麼和導數的關係？”

一位學子恍然大悟：“先生，邊際成本就是成本函式的導數！”

戴浩文讚許地說：“對！那咱們來求一下導數。”

經過計算，成本函式的導數為 c' = 4x + 5 。

戴浩文問道：“那當 x = 10 時，邊際成本是多少？”

學子們很快算出答案：“45 。”

戴浩文繼續出題：“現在有一個矩形，其周長為 20 ，設長為 x ，面積為 y ，求面積最大時矩形的長和寬。”

學子們開始分組討論，教室裡響起了熱烈的討論聲。

過了一會兒，一組代表發言：“先生，我們設寬為 10 - x ，面積 y = x(10 - x) ，然後求導找極值。”

戴浩文鼓勵道：“非常好，那咱們來求導看看。”

一番計算後，得出導數為 10 - 2x ，令其等於 0 ，解得 x = 5 。

戴浩文總結道：“所以當長和寬都為 5 時，面積最大。大家明白了嗎？”

學子們齊聲回答：“明白了！”

“那咱們再來看這道題。”戴浩文又寫道：“已知某商品的需求函式為 q = 20 - 2p ，其中 q 為需求量，p 為價格。求價格為 5 時的需求彈性。”

這次學子們思考的時間更長了，戴浩文在教室裡走動，不時聽聽各個小組的討論，給予一些指導。

終於，有學子算出了結果：“先生，是 -2\/3 。”

戴浩文點頭：“很棒！那咱們來回顧一下這幾道題，大家說說在解決這些問題時有什麼心得？”

一位學子站起來說：“要先根據題目建立函式關係，然後求導。”

另一位學子補充道：“還要注意題目中的條件和要求，找到關鍵的點。”

戴浩文微笑著說：“大家總結得都很好。接下來，咱們再看幾道更復雜的題目。”

他在黑板上寫下：“一個半徑為 r 的圓，其面積隨半徑的變化而變化，求半徑為 5