第212章 黃金三角形 (第1/2頁)

第 212 章 黃金三角形

在經歷了對頂角 120 度的等腰三角形的深入學習後，學子們滿懷期待地迎來了新的一課。

戴浩文走進學堂，目光中透著神秘與興奮，他清了清嗓子說道：“同學們，今日我們要探討一種奇妙的三角形——頂角為 36 度的等腰三角形，它還有一個美妙的名字，叫做黃金三角形。”

李華好奇地問道：“先生，為何稱之為黃金三角形？難道它藏著什麼珍貴的秘密？”

戴浩文微笑著回答：“李華問得好。這黃金三角形啊，其腰與底邊的比例有著獨特的魅力。我們先來研究一下它的一些基本性質。”

戴浩文轉身在黑板上畫出一個頂角為 36 度的等腰三角形，“假設等腰三角形的頂角為 36 度，兩腰為 a，底邊為 b。”

王強舉手說：“先生，那我們是不是也要像之前那樣作垂線來幫助求解？”

戴浩文點頭道：“王強思路敏捷。我們作一條角平分線，將底角平分。”說著，他在三角形中畫出這條線。

“現在，我們得到了兩個新的三角形。”戴浩文指著圖形，“同學們觀察一下，這兩個新的三角形有什麼特點？”

趙婷仔細看了看，說道：“先生，這兩個三角形好像也是等腰三角形。”

戴浩文誇讚道：“趙婷觀察得很仔細。其中一個是等腰三角形，而且它與原來的大三角形相似。”

張明疑惑地問：“先生，那這對我們探究腰和底邊的關係有什麼幫助呢？”

戴浩文解釋道：“我們設腰與底邊的比值為 k，即 a \/ b = k 。由於相似三角形的對應邊成比例，我們可以得到一個等式。”

戴浩文在黑板上寫下推導過程：

“接下來，我們對上式兩邊同時除以 b2。”戴浩文邊說邊寫，

“令 ，則上式變為 ，解這個方程， 。”

戴浩文看著學子們，“因為比值為正數，所以 ，這個值就是著名的黃金分割比。”

學子們紛紛露出驚歎的表情。

王強說道：“先生，那這個黃金分割比與三角函式又有什麼關係呢？”

戴浩文回答道：“這就涉及到我們今天要探討的重點了，即腰與底邊的正切值（tan）。”

他在黑板上繼續寫道：“我們先求出底角的度數，底角為 (180 - 36) ÷ 2 = 72 度。”

“現在，我們來計算底角的正切值，tan72 度。”戴浩文說，“tan72 度 = tan(36 + 36) 度。”

“根據三角函式的兩角和公式，tan(A + b) = 。”

戴浩文邊寫邊解釋：

李華忍不住說：“先生，這可怎麼計算啊？”

戴浩文笑了笑：“莫急，我們設 tan36 度 = x ，則上式變為 。”

“而 tan72 度 = ，所以 。”

學子們紛紛動筆開始計算。

趙婷皺著眉頭說：“先生，這個方程不太好解。”

戴浩文說道：“大家可以先將方程整理一下，變成一個二次方程。”

經過一番計算和整理，得到 ，即 。

解這個方程，可得 。

戴浩文說道：“所以，頂角為 36 度的等腰三角形，腰與底邊的正切值（tan）為 。”

學子們聽得入神，紛紛感嘆數學的奇妙。

戴浩文又道：“那我們來做幾道練習題鞏固一下。”

他在黑板上寫下題目：“已知一個頂角為 36 度的等腰三角形，腰長為 6，求底邊的長度。